Empregando o critério de Cauchy, investigar a convergência das séries:
\frac{1}{2}+\left(\frac{2}{5}\right)^{3}+\left(\frac{3}{8}\right)^{5}+\ldots+\left(\frac{n}{3 n-1}\right)^{2 n-1}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série cuja soma “vai de” n=1 a infinito do termo
a_{n} = \Bigl(\tfrac{n}{3n-1}\Bigr)^{2n-1},
usando o critério de Cauchy (teste da raiz).

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
a_{n} = \Bigl(\tfrac{n}{3n-1}\Bigr)^{2n-1}.

Passo 3

O critério da raiz diz que, se
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert}
existe e L<1, então a série converge absolutamente.

Passo 4

Calculemos
\sqrt[n]{a_{n}} = \Bigl(\tfrac{n}{3n-1}\Bigr)^{\frac{2n-1}{n}} = \Bigl(\tfrac{n}{3n-1}\Bigr)^{2 - \tfrac1n}.
Como \tfrac{n}{3n-1}\to\tfrac13 e 2-\tfrac1n\to2, temos
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} = \Bigl(\tfrac13\Bigr)^{2} = \tfrac{1}{9}.

Passo 5

Visto que L=\tfrac{1}{9}<1, concluímos pelo critério da raiz de Cauchy que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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