Investigar a convergência das seguintes séries, valendo-se dos critérios de confronto (ou do critério necessário):
\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\frac{4}{7}+\ldots+\frac{n+1}{2 n+1}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{2n+1}
usando, por exemplo, o critério necessário (se o termo geral não tende a zero, a série diverge) ou comparações simples.

Passo 2

Calculemos o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{n\bigl(1+\frac1n\bigr)}{n\bigl(2+\frac1n\bigr)} =\frac{1}{2}.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+1}=\frac12\neq0,
o critério necessário de convergência diz que a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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