Empregando o critério de D’Alembert investigar a convergência das séries:
\frac{1}{2}+\frac{2 \cdot 5}{1 \cdot 5}+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{1 \cdot 5 \cdot 9}+\ldots+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \ldots(3 n-1)}{1 \cdot 5 \cdot 9 \ldots(4 n-3)}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série cujos termos são
\frac{1}{2},\;\frac{2\cdot5}{1\cdot5},\;\frac{2\cdot5\cdot8}{1\cdot5\cdot9},\;\dots,\;\frac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n-1)}{1\cdot5\cdot9\cdots(4n-3)},\;\dots
Usaremos o critério de D’Alembert (razão), que diz que, se
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| \;<\;1,
então a série converge absolutamente.

Passo 2

Denotemos por a_n o n-ésimo termo (para n\ge1) dado pelo produto
a_n \;=\;\frac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n-1)}{1\cdot5\cdot9\cdots(4n-3)}
(observe que, apesar do primeiro termo dado ser \tfrac12, o comportamento para n\to\infty fica comandado pela expressão acima para grandes n).

Passo 3

Calculemos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\displaystyle2\cdot5\cdot8\cdots(3n-1)\,(3(n+1)-1)} {\displaystyle1\cdot5\cdot9\cdots(4n-3)\,(4(n+1)-3)} \;\Big/\; \frac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n-1)}{1\cdot5\cdot9\cdots(4n-3)} \;=\;\frac{3n+2}{4n+1}.

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando n\to\infty:
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{4n+1} =\frac{3}{4}.

Passo 5

Como L=\tfrac{3}{4}<1, pelo critério de D’Alembert a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge, pois o limite da razão é \tfrac{3}{4}<1.

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