Empregando o critério de D’Alembert investigar a convergência das séries:
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série cujos termos são
Usaremos o critério de D’Alembert (razão), que diz que, se
então a série converge absolutamente.
Passo 2
Denotemos por
o
-ésimo termo (para
) dado pelo produto
(observe que, apesar do primeiro termo dado ser
, o comportamento para
fica comandado pela expressão acima para grandes
).
Passo 3
Calculemos a razão
Passo 4
Agora basta tomar o limite quando
:
Passo 5
Como
, pelo critério de D’Alembert a série converge absolutamente e, portanto, converge.
Resposta
A série converge, pois o limite da razão é
.