Investigar a convergência das seguintes séries, valendo-se dos critérios de confronto (ou do critério necessário):
1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para a gente investigar a convergência da série
1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{n}}+\dots
ou seja, \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}. O conteúdo envolve testes de convergência de séries, e vamos usar o critério de série- p (ou comparação com a série harmônica).

Passo 2

Primeiro, verificamos o critério necessário: o termo geral \tfrac{1}{\sqrt{n}} deve tender a zero se a série tiver chance de convergir. De fato,
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0,
então passa no critério necessário, mas isso não garante convergência.

Passo 3

Agora usamos o teste da série- p. Note que
\frac{1}{\sqrt{n}}=n^{-\tfrac12},
ou seja, p=\tfrac12. Sabemos que a p-série \sum n^{-p} converge somente se p>1. Aqui p=\tfrac12\le1, logo a série diverge. Como detalhe, dá também para comparar com a harmônica: para n\ge1 tem \tfrac{1}{\sqrt{n}}\ge\tfrac{1}{n}, e \sum1/n diverge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n}} é divergente.

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