Investigar a convergência das seguintes séries, valendo-se dos critérios de confronto (ou do critério necessário):
\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{8^{2}}+\ldots+\frac{1}{(3 n-1)^{2}}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(3n-1)^{2}}.
Estamos em um contexto de séries de termos não negativos, e vamos usar o critério de comparação com séries do tipo p.

Passo 2

Lembremos do critério da série p: a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Em particular, para p=2 temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}<\infty.

Passo 3

Para comparar com uma série p, note que para todo n\ge1 vale
3n-1 \;\ge\; n,
pois 3n-1 - n = 2n-1\ge0. Elevando ao quadrado,
(3n-1)^{2}\;\ge\;n^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{(3n-1)^{2}}\;\le\;\frac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Como já sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge e \tfrac{1}{(3n-1)^{2}}\le\tfrac{1}{n^{2}} para todo n, pelo crité­rio da comparação concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(3n-1)^{2}}
também converge.

Resposta

A série converge.

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