Seja c o número complexo x+i y, representado por urn ponto no sistema de coordenadas cartesianas. Desenhar as curvas
|c-alphac-beta|=k, alpha, beta constantes compiexas.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a curva no plano xy cujo ponto c=x+i y satisfaz
|c-alphac-beta|=k,
com alpha,beta constantes complexas e k>0.
O conteúdo é geometria no plano complexo (Apollonius): é a curva de ponto cujo cociente de distâncias a dois pontos fixos é constante.

Passo 2

Escrevemos a condição em termos de módulos ao quadrado:
|c-alpha|^2|c-beta|^2=k^2 Longrightarrow |c-alpha|^2 = k^2,|c-beta|^2
Sejam alpha=alphax+ialphay e beta=betax+ibetay. Então
(x-alphax)^2+(y-alphay)^2 = k^2l[(x-betax)^2+(y-betay)^2r]

Passo 3

Expandindo ambos os lados e agrupando termos, obtemos
(1-k^2)(x^2+y^2) -2l[;x(alphax-k^2betax)+y(alphay-k^2betay)r] +l(alphax^2+alphay^2 - k^2(betax^2+betay^2)r) =0

Passo 4

Se kneq1, dividimos tudo por (1-k^2) e completamos quadrados para ver que é uma circunferência:
l(x-alphax - k^2betax1-k^2r)^2 + l(y-alphay - k^2betay1-k^2r)^2 = k^2,l[(alphax-betax)^2+(alphay-betay)^2r](1-k^2)^2
Logo o centro é
l(alphax - k^2betax1-k^2,;alphay - k^2betay1-k^2r)
e o raio vale
R=k,|alpha-beta||1-k^2|

Passo 5

Se k=1, a equação vira
;|c-alpha|=|c-beta|,
ou seja, o lugar geométrico é a mediatriz perpendicular do segmento que une alpha e beta.

Resposta

Para kneq1 a curva é a circunferência de Apollonius de centro
l(tfracalphax - k^2betax1-k^2,,tfracalphay - k^2betay1-k^2r)
e raio
R=tfrack,|alpha-beta||1-k^2|
Para k=1 é a reta mediatriz do segmento [alpha,beta].

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