Uma empresa que fabrica aviões de pequeno porte, tem como função de receita total R(x)=raizx^2-x^4 para um determinado modelo:
(a) Esboce o gráfico de R=R(x).
(b) Determine a função de demanda e esboce seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a receita total
R(x)=raizx^2-x^4
para quantidades x vendidas, e pede:
(a) esboçar o gráfico de R(x),
(b) encontrar a função demanda p(x) e esboçar seu gráfico.
Vamos usar cálculo de domínio, máximos e a relação
R(x)=xcdot p(x)
para obter p(x).

Passo 2

Determinar o domínio e o formato de R(x).
Para existir raizx^2-x^4 precisamos de
x^2-x^4>=0 Long<=ftrightarrow x^2(1-x^2)>=0
isso ocorre em xin[-1,0]cup[0,1]. Como quantidade não é negativa, ficamos com
xin[0,1]
Nos extremos R(0)=0 e R(1)=0. Para achar o máximo interno, note
R(x)^2=x^2-x^4,
então
ddxl(R(x)^2r)=2x-4x^3=2x(1-2x^2)=0
x=0 ou x=1/raiz2. Em x=1/raiz2 temos
Rl(1/raiz2r) =raiztfrac12-tfrac14 =tfrac12
Logo o gráfico de R(x) em [0,1] parte de (0,0), sobe até l(1/raiz2,1/2r) e volta a zero em (1,0).

Passo 3

Encontrar a função demanda p(x).
Por definição R(x)=x,p(x), logo para x>0
p(x)=R(x)x =raizx^2-x^4x =raiz1-x^2
Pela continuidade podemos estender p(0)=1. O domínio de p é também [0,1].

Passo 4

Esboçar o gráfico de p(x)=raiz1-x^2.
Em x=0 vem p(0)=1, em x=1 vem p(1)=0. É exatamente parte de uma circunferência de raio 1 no primeiro quadrante, decrescente de (0,1) até (1,0).

Resposta

(a) O gráfico de R(x) em [0,1] é a curva que sai de (0,0), atinge o máximo l(1/raiz2,1/2r) e volta a zero em (1,0).
(b) A função demanda é
p(x)=raiz1-x^2, xin[0,1],
cujo gráfico é um arco de circunferência de raio 1 no primeiro quadrante, de (0,1) a (1,0).

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