Uma empresa opera num mercado em que o preço de venda é constante e igual a 20,00 Seu custo marginal mensal é dado por éC m g=3 x^{2}-6 x+15$. Qual a produção mensal que dá o máximo lucro?

Passo 1

O enunciado diz que a empresa vende cada unidade a preço constante de $20 e que o custo marginal mensal é dado por
Cmg(x)=3x^2-6x+15,
Para maximizar o lucro, precisamos usar a condição
Marginal Revenue (MR) = Marginal Cost (MC)

Passo 2

Como o preço de venda é constante em $20, a receita marginal é
MR = 20
Logo, igualamos MR a Cmg(x):
20 = 3x^2 - 6x + 15

Passo 3

Reescrevendo a equação, obtemos
3x^2 - 6x + 15 = 20 Longrightarrow 3x^2 - 6x - 5 = 0

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara em
3x^2-6x-5=0, temos
x = 6 pm raiz(-6)^2 - 4cdot3cdot(-5)2cdot3 = 6 pm raiz36 + 606 = 6 pm raiz966

Passo 5

Como raiz96=4raiz6, as soluções são
x = 6 pm 4raiz66 = 1 pm 23raiz6
Descartamos a raiz negativa, pois produção não pode ser negativa. Logo,
x = 1 + 23raiz6 approx 2,633

Passo 6

Para garantir que é máximo, observe o sinal da segunda derivada do lucro:
;-d(Cmg)/dx = -(6x-6), que em xapprox2,633 é negativo, confirmando máximo.

Resposta

A produção mensal que maximiza o lucro é
boxedx = 1 + 23raiz6approx2,633 unidades

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