Dada a função custo mensal de fabricação de um produto C=40+5 x :
a) Mostre que o custo médio é sempre decrescente.
b) Qual o custo médio mínimo, se a capacidade da empresa é produzir no máximo 60 unidades por mês?

Passo 1

O enunciado dá a função custo total mensal
C(x)=40+5x
onde x é o número de unidades produzidas. Precisamos obter o custo médio, estudar seu comportamento (se é crescente ou decrescente) e, dado o limite de produção de 60 unidades, achar o valor mínimo desse custo médio.

Passo 2

O custo médio C(x) é o custo total dividido pela quantidade produzida:
C(x)=C(x)x=40+5xx=40x+5

Passo 3

Para ver se C(x) é decrescente, calculamos sua derivada para x>0:
C'(x) =ddxl(tfrac40x+5r) =-40x^2
Como -tfrac40x^2<0 para todo x>0, concluímos que C(x) é sempre decrescente.

Passo 4

Num intervalo em que a função é decrescente, o valor mínimo ocorre no ponto de maior x. Como a produção máxima é 60 unidades, o mínimo de C(x) será em x=60.

Passo 5

Calculamos o custo médio em x=60:
C(60) =4060+5 =23+5 =173approx5,67

Resposta

(a) C(x)=tfrac40x+5 tem derivada -40/x^2<0, logo é sempre decrescente.
(b) No máximo de 60 unidades, o custo médio mínimo é
C(60)=173approx5,67

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