Dada a função custo mensal de fabricação de um produto C=40+5 x :
a) Mostre que o custo médio é sempre decrescente.
b) Qual o custo médio mínimo, se a capacidade da empresa é produzir no máximo 60 unidades por mês?
Passo 1
O enunciado dá a função custo total mensal
onde é o número de unidades produzidas. Precisamos obter o custo médio, estudar seu comportamento (se é crescente ou decrescente) e, dado o limite de produção de unidades, achar o valor mínimo desse custo médio.
Passo 2
O custo médio é o custo total dividido pela quantidade produzida:
C(x)=C(x)x=40+5xx=40x+5
Passo 3
Para ver se C(x) é decrescente, calculamos sua derivada para x>0:
C'(x) =ddxl(tfrac40x+5r) =-40x^2
Como -tfrac40x^2<0 para todo x>0, concluímos que C(x) é sempre decrescente.
Passo 4
Num intervalo em que a função é decrescente, o valor mínimo ocorre no ponto de maior x. Como a produção máxima é 60 unidades, o mínimo de C(x) será em x=60.
Passo 5
Calculamos o custo médio em x=60:
C(60) =4060+5 =23+5 =173approx5,67
Resposta
(a) C(x)=tfrac40x+5 tem derivada -40/x^2<0, logo é sempre decrescente.
(b) No máximo de 60 unidades, o custo médio mínimo é
C(60)=173approx5,67
Cálculo - Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan e Wilton Bussab - Introdução ao Cálculo Para Administração, Economia e Contabilidade - 1ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 17