Uma empresa que produz componentes eletrônicos para computadores, tem custo total de C(x)=x^2+40 x+100.
(a) Calcule o custo médio e o custo fixo da empresa.
(b) Se o preço do produto for 80 reais, qual deve ser a quantidade produzida?
(b) Quando a empresa tem lucro?

Passo 1

O enunciado nos dá o custo total da empresa em função da quantidade produzida x:
C(x)=x^2+40x+100
Os itens pedem:
1. o custo médio e o custo fixo,
2. dada um preço de venda ,80 reais, qual a quantidade que maximiza o lucro,
3. para quais x a empresa tem lucro ( pi(x)>0).

Passo 2

O custo médio é definido por
cm(x)=C(x)x
Substituindo C(x):
cm(x)=x^2+40x+100x =x+40+100x
O custo fixo é C(0), que é o custo existindo mesmo sem produzir nada:
C(0)=100

Passo 3

Se o preço de venda é 80 reais e a empresa é price-taker, a receita é
R(x)=80x
Para maximizar o lucro pi(x)=R(x)-C(x) em competição perfeita, igualamos o custo marginal ao preço:
C'(x)=2x+40,
2x+40=80 Longrightarrow x=20
Logo, a quantidade ótima é 20 unidades.

Passo 4

A empresa tem lucro quando
pi(x)=R(x)-C(x)>0 Longrightarrow 80x-l(x^2+40x+100r)>0
Long<=ftrightarrow -x^2+40x-100>0 Long<=ftrightarrow x^2-40x+100<0
As raízes da equação x^2-40x+100=0 são
x=40pmraiz40^2-4cdot1cdot1002 =40pmraiz12002 =20pm10raiz3
Como é uma parábola voltada para cima, a desigualdade é satisfeita entre as raízes:
20-10raiz3<x<20+10raiz3

Resposta

(a) cm(x)=x+40+dfrac100x e custo fixo C(0)=100.
(b) A quantidade que maximiza o lucro é x=20.
(c) A empresa tem lucro para
20-10raiz3<x<20+10raiz3

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