Uma montadora de carros, tem funções de custo total C(x)=10 x+80 e de receita R(x)=-3 x^2+50 x+5 referentes à produção e à venda de x unidades do produto.
(a) Calcule os pontos de nivelamento.
(b) Quando a empresa tem e não tem lucro por produzir estes componentes?

Passo 1

O enunciado dá a função de custo total
C(x)=10x+80
e a função de receita
R(x)=-3x^2+50x+5
para x unidades produzidas e vendidas.
(a) Pede-se os pontos de nivelamento (break-even), ou seja, as soluções de R(x)=C(x).
(b) Pede-se em que intervalo de produção a empresa tem lucro ( R(x)-C(x)>0) e onde tem prejuízo ( R(x)-C(x)<0).

Passo 2

Para achar os pontos de nivelamento igualamos
R(x)=C(x)
ou seja
-3x^2+50x+5 ;=;10x+80
Reagrupando todos os termos no lado esquerdo, obtemos a equação quadrática
-3x^2+40x-75=0

Passo 3

Multiplicando por -1 e reescrevendo, fica
3x^2-40x+75=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
x=40pmraiz(-40)^2-4cdot3cdot752cdot3 =40pmraiz1600-9006 =40pmraiz7006 =40pm10raiz76 =20pm5raiz73
Em forma aproximada,
x1approx2,26, x2approx11,09

Passo 4

Definimos a função lucro
pi(x)=R(x)-C(x)=-3x^2+40x-75
Como o coeficiente de x^2 é negativo, o gráfico de pi(x) é uma parábola voltada para baixo e toma valores positivos somente entre as raízes. Logo
pi(x)>0se, e somente se,2,26<x<11,09,
e
pi(x)<0para x<2,26 ou x>11,09

Resposta

Pontos de nivelamento:
x=20-5raiz73approx2,26, x=20+5raiz73approx11,09
A empresa tem lucro para
2,26<x<11,09
e prejuízo para
0<= x<2,26ou x>11,09

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