Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?

Passo 1

O enunciado diz que há 3 diretores e 5 gerentes (total de 8 pessoas) e pede o número de comissões de 5 pessoas que contenham pelo menos um diretor. O conteúdo usado será combinação simples e princípio do complemento.

Passo 2

Primeiro calculamos o total de comissões de 5 pessoas sem nenhuma restrição, que é o número de modos de escolher 5 pessoas dentre as 8 disponíveis:
binom85
Em seguida calculamos quantas comissões não têm nenhum diretor, ou seja, todas as 5 vagas são ocupadas por gerentes. Como há 5 gerentes, isso dá
binom55

Passo 3

Para obter o número de comissões com ao menos um diretor, subtraímos do total o caso complementar (sem diretores). Assim:
comissões com >=1 diretor = binom85 - binom55 õ

Passo 4

Calculando os binomiais:
binom85 = 56, binom55 = 1,
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56 - 1 = 55

Resposta

O número de comissões de 5 pessoas contendo pelo menos um diretor é 55.

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