Quantos colares podemos formar usando quatro contas, todas diferentes?

Passo 1

O enunciado pede o número de colares distintos que se podem formar com quatro contas todas diferentes. Aqui o conteúdo é contagem de arranjos circulares levando em conta que girar ou virar (refletir) o colar não gera um arranjo novo. Para resolver vamos usar o Lema de Burnside (ou Teorema de Polya) com o grupo diédrico D4.

Passo 2

O grupo de simetrias D4 tem 8 elementos:
  1. a identidade,
  2. rotações de 90^circ, 180^circ e 270^circ,
  3. quatro reflexões (duas passando por contas opostas e duas passando entre contas).
    Pelo Lema de Burnside, o número de colares distintos é
1|D4|sumgin D4 l|Fix(g)r|

Passo 3

Calculamos l|Fix(g)r| para cada g:
  • Para a identidade e, todo arranjo de quatro contas é fixo, ou seja, l|Fix(e)r| = 4! = 24

Passo 4

Para cada rotação não trivial:
  • Rotação de 90^circ ou 270^circ quebra as posições em um ciclo de comprimento 4, exigindo todas as contas iguais para ficar fixo. Como as contas são todas diferentes, l|Fix(rotação 90^circ)r| = l|Fix(rotação 270^circ)r| = 0 çãçã
  • Rotação de 180^circ quebra as posições em dois ciclos de comprimento 2, exigindo pares iguais de contas para ficar fixo. De novo, contas diferentes impedem isso, então l|Fix(rotação 180^circ)r| = 0 çã

Passo 5

Para cada reflexão (seja passando por contas opostas ou entre contas), há ciclos de tamanho 1 e 2, e fica também exigido que alguma(s) conta(s) se repita(m) para ser fixo. Como todas as contas são diferentes, nenhuma reflexão fixa arranjo, ou seja,
l|Fix(qualquer ref<=xão)r| = 0 ã

Passo 6

Somando tudo no Lema de Burnside e dividindo por 8 obtemos
18l(24 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0r) = 248 = 3

Resposta

3 colares distintos.

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