Quantos colares podemos formar usando quatro contas, todas diferentes?
Passo 1
O enunciado pede o número de colares distintos que se podem formar com quatro contas todas diferentes. Aqui o conteúdo é contagem de arranjos circulares levando em conta que girar ou virar (refletir) o colar não gera um arranjo novo. Para resolver vamos usar o Lema de Burnside (ou Teorema de Polya) com o grupo diédrico .
Passo 2
O grupo de simetrias tem elementos:
a identidade,
rotações de , e ,
quatro reflexões (duas passando por contas opostas e duas passando entre contas).
Pelo Lema de Burnside, o número de colares distintos é
Passo 3
Calculamos l|Fix(g)r| para cada g:
Para a identidade e, todo arranjo de quatro contas é fixo, ou seja, l|Fix(e)r| = 4! = 24
Passo 4
Para cada rotação não trivial:
Rotação de 90^circ ou 270^circ quebra as posições em um ciclo de comprimento 4, exigindo todas as contas iguais para ficar fixo. Como as contas são todas diferentes, l|Fix(rotação 90^circ)r| = l|Fix(rotação 270^circ)r| = 0 çãçã
Rotação de 180^circ quebra as posições em dois ciclos de comprimento 2, exigindo pares iguais de contas para ficar fixo. De novo, contas diferentes impedem isso, então l|Fix(rotação 180^circ)r| = 0 çã
Passo 5
Para cada reflexão (seja passando por contas opostas ou entre contas), há ciclos de tamanho 1 e 2, e fica também exigido que alguma(s) conta(s) se repita(m) para ser fixo. Como todas as contas são diferentes, nenhuma reflexão fixa arranjo, ou seja,
l|Fix(qualquer ref<=xão)r| = 0 ã
Passo 6
Somando tudo no Lema de Burnside e dividindo por 8 obtemos
18l(24 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0r) = 248 = 3
Resposta
3 colares distintos.
Cálculo - Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 5: Combinatória e Probabilidade - 8ª Edição - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 102