Encontre o coeficiente de
nas séries de potência para cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o coeficiente de
na expansão de
. Este é um problema de séries de potência onde cada fator
contribui com um monômio de grau 0, 1 ou 2, e queremos a soma total dos graus igual a 10.
Passo 2
Modelamos cada escolha por variáveis inteiras não negativas: seja
= número de vezes que escolhemos o termo
(grau 0),
= número de vezes que escolhemos o termo
(grau 1),
= número de vezes que escolhemos o termo
(grau 2).
Como multiplicamos três fatores, temos
Como multiplicamos três fatores, temos
e o grau total é
Passo 3
O grau máximo que podemos obter é quando escolhemos sempre
, ou seja
, dando grau
. Assim o maior monômio presente em
é
.
Passo 4
Como
, não existe nenhuma combinação de escolhas que produza o termo
. Logo, o coeficiente procurado é zero.
Resposta
O coeficiente de
em
é
.