Encontre o coeficiente de x^{10} nas séries de potência para cada uma das funções abaixo.
\left(1+x+x^{2}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{10} na expansão de \bigl(1+x+x^2\bigr)^{3}. Este é um problema de séries de potência onde cada fator (1+x+x^2) contribui com um monômio de grau 0, 1 ou 2, e queremos a soma total dos graus igual a 10.

Passo 2

Modelamos cada escolha por variáveis inteiras não negativas: seja \displaystyle i = número de vezes que escolhemos o termo 1 (grau 0), \displaystyle j = número de vezes que escolhemos o termo x (grau 1), \displaystyle k = número de vezes que escolhemos o termo x^2 (grau 2).
Como multiplicamos três fatores, temos
i + j + k = 3
e o grau total é
j + 2k.

Passo 3

O grau máximo que podemos obter é quando escolhemos sempre x^2, ou seja k=3, dando grau 2\cdot 3 = 6. Assim o maior monômio presente em \bigl(1+x+x^2\bigr)^{3} é x^6.

Passo 4

Como 10 > 6, não existe nenhuma combinação de escolhas que produza o termo x^{10}. Logo, o coeficiente procurado é zero.

Resposta

O coeficiente de x^{10} em \bigl(1+x+x^2\bigr)^{3} é 0.

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