Encontre o coeficiente de x^{10} nas séries de potência para cada uma das funções abaixo.
\left(x^{4}+x^{5}+x^{6}\right)\left(x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7}\right)\left(1+x+x^{2}+x^{3}\right. \left.+x^{4}+\cdots\right)

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{10} no produto das três séries de potência
(x^{4}+x^{5}+x^{6})\,(x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7})\,(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots).
O conteúdo aqui é convolução de séries: se a_i, b_j e c_k são os coeficientes das três séries, então o coeficiente d_n em x^n é
d_n=\sum_{i+j+k=n}a_i\,b_j\,c_k.

Passo 2

Identifiquemos os coeficientes de cada série:
  • a_i=1 se i\in\{4,5,6\}, caso contrário a_i=0.
  • b_j=1 se j\in\{3,4,5,6,7\}, caso contrário b_j=0.
  • c_k=1 para todo k\ge0.
Então para n=10 temos
d_{10}=\sum_{\substack{i\in\{4,5,6\}\j\in\{3,\dots,7\}\k\ge0}} \delta_{i+j+k,\,10},
onde \delta é o delta de Kronecker.

Passo 3

A condição i+j+k=10 com k\ge0 equivale a exigir
i+j\le10,
pois k=10-(i+j). Como c_k=1 para todo k\ge0, cada par (i,j) satisfazendo i+j\le10 contribui com 1 para d_{10}. Logo
d_{10}=\bigl|\{(i,j)\mid i\in\{4,5,6\},\;j\in\{3,\dots,7\},\;i+j\le10\}\bigr|.

Passo 4

Contamos para cada i:
  • Se i=4 então j\le10-4=6, e j\in\{3,4,5,6\} dá 4 opções.
  • Se i=5 então j\le10-5=5, e j\in\{3,4,5\} dá 3 opções.
  • Se i=6 então j\le10-6=4, e j\in\{3,4\} dá 2 opções.

Passo 5

Somando as opções temos
d_{10}=4+3+2=9.

Resposta

9

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