Para cada uma das funções generalizadas abaixo, forneça uma fórmula fechada para a seqüência que ela determina.
Questão 7 x^{2}+3 x+7+\left(1 /\left(1-x^{2}\right)\right)
Passo 1
O enunciado nos dá a função geradora
G(x)=x^{2}+3x+7+\frac{1}{1-x^{2}}
e pede a fórmula fechada da sequência (a_{n})_{n\ge0} cujos termos satisfazem
G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.
Vamos separar em partes para extrair coeficientes.
Passo 2
O polinômio x^{2}+3x+7 contribui apenas para os três primeiros coeficientes:
coeficiente de x^{0} é 7,
coeficiente de x^{1} é 3,
coeficiente de x^{2} é 1,
e para n\ge3 não há contribuição dessa parte.
Passo 3
A função \displaystyle\frac{1}{1-x^{2}} tem a expansão de série de potências
\frac{1}{1-x^{2}} =\sum_{k=0}^{\infty}x^{2k},
isto é, fornece coeficiente 1 para todo n par n=2k e coeficiente 0 para n ímpar.