Para cada uma das funções generalizadas abaixo, forneça uma fórmula fechada para a seqüência que ela determina.
Questão 7
x^{2}+3 x+7+\left(1 /\left(1-x^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função geradora
G(x)=x^{2}+3x+7+\frac{1}{1-x^{2}}
e pede a fórmula fechada da sequência (a_{n})_{n\ge0} cujos termos satisfazem
G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.
Vamos separar em partes para extrair coeficientes.

Passo 2

O polinômio x^{2}+3x+7 contribui apenas para os três primeiros coeficientes:
  • coeficiente de x^{0} é 7,
  • coeficiente de x^{1} é 3,
  • coeficiente de x^{2} é 1,
    e para n\ge3 não há contribuição dessa parte.

Passo 3

A função \displaystyle\frac{1}{1-x^{2}} tem a expansão de série de potências
\frac{1}{1-x^{2}} =\sum_{k=0}^{\infty}x^{2k},
isto é, fornece coeficiente 1 para todo n par n=2k e coeficiente 0 para n ímpar.

Passo 4

Somando as duas partes, para cada n\ge0 temos
a_{n} =\underbrace{[n=0]\cdot7+[n=1]\cdot3+[n=2]\cdot1}_{\text{polinômio}} +\underbrace{[n\text{ par}]}_{\text{serie }1/(1-x^{2})},ô
onde [n=k] é o delta de Kronecker e [n\text{ par}]=1 se n é par ou 0 se n é ímpar.
Uma forma equivalente e mais compacta é usar
[n\text{ par}] =\frac{1+(-1)^{n}}{2}.
Logo
a_{n} =7\,[n=0]+3\,[n=1]+1\,[n=2]+\frac{1+(-1)^{n}}{2}.

Resposta

a_{n}= \begin{cases} 8,&n=0,\\\\ 3,&n=1,\\\\ 2,&n=2,\\\\ 1,&n\ge3\text{ e }n\text{ par},\\\\ 0,&n\ge3\text{ e }n\text{ ímpar}. \end{cases}í

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