Encontre o coeficiente de x^{10} nas séries de potência para cada uma das funções abaixo.
\left(x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+\cdots\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{10} na série de potência da função
\bigl(x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+\cdots\bigr)^{3}.
O conteúdo envolve séries geométricas e expansão de (1-x)^{-k}. Vamos usar geração de funções para achar esse coeficiente.

Passo 2

Observe que
x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots
é uma série geométrica de primeiro termo x^2 e razão x. Logo,
\sum_{n=2}^{\infty}x^n \;=\;\frac{x^2}{1-x}.

Passo 3

Elevando ao cubo, tem-se
\bigl(\sum_{n=2}^{\infty}x^n\bigr)^{3} =\Bigl(\frac{x^2}{1-x}\Bigr)^{3} =\frac{x^6}{(1-x)^3}.

Passo 4

Usamos a expansão conhecida
\frac{1}{(1-x)^3} =\sum_{m=0}^{\infty}\binom{m+2}{2}\,x^m.
Multiplicando por x^6 desloca o índice: na série de \tfrac{x^6}{(1-x)^3} o coeficiente de x^{10} corresponde a m=10-6=4.

Passo 5

Para m=4, o coeficiente é
\binom{4+2}{2} =\binom{6}{2} =15.

Resposta

15

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