Encontre o coeficiente de x^{10} nas séries de potência para cada uma das funções abaixo.
\left(x^{3}+x^{5}+x^{6}\right)\left(x^{3}+x^{4}\right)\left(x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots\right)

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{10} na expansão em série de potência de
\bigl(x^{3}+x^{5}+x^{6}\bigr)\bigl(x^{3}+x^{4}\bigr)\bigl(x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots\bigr).
O conteúdo é multiplicação de séries de potência e uso da convolução de coeficientes (ou seja, para achar o coeficiente de x^n no produto, somamos produtos de coeficientes cujos expoentes se somam a n).

Passo 2

Primeiro multiplicamos as duas polinômios finitos \displaystyle A(x)=x^{3}+x^{5}+x^{6} e \displaystyle B(x)=x^{3}+x^{4}.
Fazendo o produto termo a termo:
A(x)\,B(x) =(x^3+x^5+x^6)(x^3+x^4) =x^6+x^7+x^8+2x^9+x^{10}.
Chamemos este resultado de
D(x)=x^6+x^7+x^8+2x^9+x^{10}.

Passo 3

Agora considere
C(x)=x+x^2+x^3+\cdots=\sum_{j=1}^{\infty}x^j.
Queremos o coeficiente de x^{10} em D(x)\,C(x). Pela regra de convolução, esse coeficiente é
\sum_{i+j=10}[\text{coeficiente de }x^i\text{ em }D(x)]\;\times\;[\text{coeficiente de }x^j\text{ em }C(x)].
Como C(x) tem coeficiente 1 para todo j\ge1 e zero em j=0, só importam os termos de D(x) com expoente i\in\{6,7,8,9\}.

Passo 4

Listamos os coeficientes de D(x):
D(x)=\underbrace{1}_{x^6}x^6 +\underbrace{1}_{x^7}x^7 +\underbrace{1}_{x^8}x^8 +\underbrace{2}_{x^9}x^9 +\underbrace{1}_{x^{10}}x^{10}.
Para formar x^{10} com i+j=10 e j\ge1, usamos i=6,7,8,9. Logo,
\text{coeficiente de }x^{10} =\;D_6+D_7+D_8+D_9 =1+1+1+2 =5.

Resposta

5

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