Para cada uma das funções generalizadas abaixo, forneça uma fórmula fechada para a seqüência que ela determina.
Questão 7
2 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função geradora generalizada
F(x)=2\,e^{2x}
e pede uma fórmula fechada para a sequência \{a_n\}_{n\ge0} que ela determina.

Passo 2

Por definição de função geradora generalizada (exponencial), temos
F(x)\;=\;\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,\frac{x^n}{n!}.

Passo 3

Sabemos pela série de Taylor que
e^{2x} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x)^n}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}2^n\,\frac{x^n}{n!}.

Passo 4

Multiplicando essa expansão por 2, obtém-se
F(x)=2\,e^{2x} =2\sum_{n=0}^{\infty}2^n\,\frac{x^n}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(2\cdot2^n\bigr)\,\frac{x^n}{n!}.
Comparando com a definição de F(x), concluímos que
a_n = 2\cdot2^n = 2^{\,n+1}.

Resposta

a_n = 2^{\,n+1},\quad n\ge0.

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