Encontre uma forma fechada para a função generalizada para a seqüência \left\{a_{n}\right\}, em que
Questão 6
a_{n}=-1 para todo n=0,1,2, \ldots.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \{a_n\} com
a_n = -1\quad\text{para todo }n=0,1,2,\dots
e pede a forma fechada da sua função geradora de potências, isto é,
A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n.

Passo 2

Pela definição de função geradora, escrevemos
A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n.

Passo 3

Como a_n=-1 para todo n, temos
A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)\,x^n \;=\;-\,\sum_{n=0}^{\infty}x^n.

Passo 4

Reconhecemos \sum_{n=0}^{\infty}x^n como série geométrica de razão x, cuja soma é
\sum_{n=0}^{\infty}x^n = \frac{1}{1-x}\quad(\lvert x\rvert<1).
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A(x) = -\,\frac{1}{1-x}.

Resposta

A(x) = -\frac{1}{1-x},\quad |x|<1.

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