Encontre f(g(x)) e g(f(x)). Determine o domínio de cada função.
f(x)=\frac{1}{x+1} ; g(x)=\frac{1}{x-1}

Passo 1

O enunciado dá duas funções racionais
f(x)=\frac{1}{x+1} e g(x)=\frac{1}{x-1}
e pede as composições f(g(x)) e g(f(x)) bem como o domínio de cada uma.
Vamos usar as regras de composição de funções e analisar as restrições que surgem dos denominadores.

Passo 2

Para calcular f(g(x)) substituímos g(x) em f:
f(g(x)) = \frac{1}{\,g(x)+1\,} = \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{x-1} + 1}
Agora unimos as frações no denominador:
\frac{1}{x-1} + 1 = \frac{1 + (x-1)}{x-1} = \frac{x}{x-1}
Logo
f(g(x)) = \frac{1}{\,\frac{x}{x-1}\,} = \frac{x-1}{x}.
Domínio:
  1. g(x) exige x\neq 1.
  2. No passo final, dividimos por x, daí x\neq 0.
    Portanto
\text{Domínio de }f\circ g = \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 1,\,x\neq 0\}.í

Passo 3

Para calcular g(f(x)) substituímos f(x) em g:
g(f(x)) = \frac{1}{\,f(x)-1\,} = \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{x+1} - 1}.
Unindo as frações no denominador:
\frac{1}{x+1} - 1 = \frac{1 - (x+1)}{x+1} = \frac{-x}{x+1}.
Logo
g(f(x)) = \frac{1}{\,\frac{-x}{x+1}\,} = -\frac{x+1}{x}.
Domínio:
  1. f(x) exige x\neq -1.
  2. No passo final, dividimos por x, daí x\neq 0.
    Portanto
\text{Domínio de }g\circ f = \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1,\,x\neq 0\}.í

Resposta

f(g(x)) = \displaystyle \frac{x-1}{x},\quad \text{Domínio: }x\neq 0,\,1.í
g(f(x)) = -\displaystyle \frac{x+1}{x},\quad \text{Domínio: }x\neq 0,\,-1.í

Exercícios de Livros Relacionados