Encontre uma equação na forma padrão para a parábola que satisfaz as condições dadas.
Foco ( 3,4 ), diretriz y=1

Passo 1

O enunciado pede a equação na forma padrão de uma parábola com foco em (3,4) e diretriz y=1. O conteúdo é geometria analítica de parábolas, cuja forma padrão para eixos vertical é
(x-h)^2 = 4p\,(y-k),
onde (h,k) é o vértice e p a distância do vértice ao foco (positiva se a parábola abre para cima).

Passo 2

Para achar o vértice (h,k), usamos que ele está equidistante da reta diretriz e do foco. Logo, em termos da coordenada y do vértice, vale
|k - 1| = |4 - k|.
Como o foco está acima da diretriz, k fica entre 1 e 4, então
k - 1 = 4 - k \quad\Longrightarrow\quad 2k = 5 \quad\Longrightarrow\quad k = \tfrac{5}{2}.
A abscissa do vértice é igual à do foco, logo h = 3. Assim,
(h,k) = \Bigl(3,\tfrac{5}{2}\Bigr).

Passo 3

O parâmetro p é a distância vertical do vértice ao foco:
p = 4 - \tfrac{5}{2} = \tfrac{3}{2}.

Passo 4

Substituindo h=3, k=\tfrac{5}{2} e p=\tfrac{3}{2} na forma padrão
(x-h)^2 = 4p\,(y-k),
temos
(x - 3)^2 = 4\cdot\tfrac{3}{2}\,\bigl(y - \tfrac{5}{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad (x - 3)^2 = 6\,(y - \tfrac{5}{2}).

Resposta

(x - 3)^2 = 6\Bigl(y - \tfrac{5}{2}\Bigr).

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