Encontre as expansões em somas de produtos da função booleana F(x, y, z) que é igual a 1 se e somente se
x y=0.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em soma de produtos da função booleana F(x,y,z) que vale 1 se, e somente se, x y=0. O conteúdo aqui é a forma normal disjuntiva (DNF, ou soma de produtos) e sua simplificação pela álgebra booleana.

Passo 2

A condição x y=0 significa que pelo menos uma das variáveis x ou y vale zero. Para cada par (x,y) satisfazendo isso, F vale 1 independentemente de z. Assim os mintermos são:
quando x=0,y=0 vem (0,0,0),(0,0,1);
quando x=0,y=1 vem (0,1,0),(0,1,1);
quando x=1,y=0 vem (1,0,0),(1,0,1).

Passo 3

Escrevendo a forma canônica (soma de todos esses mintermos), temos
F = \bar x\,\bar y\,\bar z \;+\;\bar x\,\bar y\,z\;+\;\bar x\,y\,\bar z\;+\;\bar x\,y\,z\;+\;x\,\bar y\,\bar z\;+\;x\,\bar y\,z.

Passo 4

Agora simplificamos em dois blocos:
\bar x\,\bar y\,\bar z + \bar x\,\bar y\,z + \bar x\,y\,\bar z + \bar x\,y\,z = \bar x\bigl(\bar y(\bar z+z)+y(\bar z+z)\bigr) = \bar x(\bar y+y) = \bar x,
x\,\bar y\,\bar z + x\,\bar y\,z = x\,\bar y\,(\bar z+z) = x\,\bar y.
Logo
F = \bar x + x\,\bar y.
Aplicando mais um passo de álgebra:
\bar x + x\,\bar y = (\bar x + x)(\bar x+\bar y) = 1\cdot(\bar x+\bar y) = \bar x + \bar y.

Resposta

Forma canônica (DFN):
F = \bar x\,\bar y\,\bar z + \bar x\,\bar y\,z + \bar x\,y\,\bar z + \bar x\,y\,z + x\,\bar y\,\bar z + x\,\bar y\,z.
Forma simplificada (SOP mínima):
F = \bar x + \bar y.

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