Encontre f(2), f(3), f(4) e f(5) se f for definido recursivamente por f(0)=-1, f(1)=2 e para n=1,2, \ldots
f(n+1)=3 f(n)^{2}-4 f(n-1)^{2}.

Passo 1

O enunciado define uma sequência (f(n))_{n\ge0} por condição inicial f(0)=-1, f(1)=2 e, para n=1,2,\dots,
f(n+1)=3\,f(n)^{2}-4\,f(n-1)^{2}.
Queremos calcular explicitamente f(2), f(3), f(4) e f(5). Para isso, vamos iterar a relação de forma direta, usando sempre os dois últimos valores conhecidos.

Passo 2

Para calcular f(2), basta usar n=1 na relação recursiva:
f(2)=3\,f(1)^{2}-4\,f(0)^{2} =3\cdot2^{2}-4\cdot(-1)^{2} =12-4 =8

Passo 3

Agora, para f(3), tomamos n=2:
f(3)=3\,f(2)^{2}-4\,f(1)^{2} =3\cdot8^{2}-4\cdot2^{2} =3\cdot64-4\cdot4 =192-16 =176

Passo 4

Em seguida, para f(4), colocamos n=3:
f(4)=3\,f(3)^{2}-4\,f(2)^{2} =3\cdot176^{2}-4\cdot8^{2}
Como 176^{2}=30976 e 8^{2}=64, temos
f(4)=3\cdot30976-4\cdot64 =92928-256 =92672

Passo 5

Finalmente, para f(5), usamos n=4:
f(5)=3\,f(4)^{2}-4\,f(3)^{2} =3\cdot92672^{2}-4\cdot176^{2}
Sabendo que 92672^{2}=8588099584 e 176^{2}=30976, vem
f(5)=3\cdot8588099584-4\cdot30976 =25764298752-123904 =25764174848

Resposta

f(2)=8 f(3)=176 f(4)=92672 f(5)=25764174848

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