Encontre uma forma fechada para a função generalizada de cada uma das seqüências abaixo. (Para cada seqüência, utilize a escolha mais óbvia de uma seqüência que contenha os termos iniciais listados.)
Questão 4
0,0,3,-3,3,-3,3,-3, \ldots

Passo 1

O enunciado pede o termo geral a_n da sequência
0,0,3,-3,3,-3,3,-3,\ldots
Este é um problema de identificação de padrão e construção de fórmula fechada para sequências, tema de análise de sequências numéricas.

Passo 2

Observando os dois primeiros termos temos
a_1 = 0,\quad a_2 = 0.
A partir de n=3, os termos começam a alternar entre 3 e -3.

Passo 3

Para n\ge3\) notamos que a sequência é periódica de período 2, com valor \(3\) quando \(n\) é ímpar e \(-3\) quando \(n\) é par. Uma maneira natural de captar essa alternância é usar a potência de \(-1\): \[(-1)^{n-1} = \begin{cases} +1, & n\text{ ímpar},\\\\ -1, & n\text{ par}. \end{cases}
Multiplicando por 3\] obtemos \(3(-1)^{n-1}, que gera 3,-3,3,-3,\dots

Passo 4

Juntando as duas partes (os dois zeros iniciais e a parte periódica a partir de n=3), a fórmula fechada fica como segue.

Resposta

a_n = \begin{cases} 0, & n = 1,2,\\\\ 3\,(-1)^{\,n-1}, & n \ge 3. \end{cases}

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