Encontre uma forma fechada para a função generalizada para a seqüência \left\{a_{n}\right\}, em que
a_{n}=\binom{8}{n} para todo n=0,1,2, \ldots.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma forma fechada para a função geradora da sequência \{a_n\}, onde
a_n = \binom{8}{n},\quad n=0,1,2,\dots
O conteúdo que vamos usar é o conceito de função geradora de sequência e o Teorema Binomial.

Passo 2

Definimos a função geradora ordinária G(x) da sequência \{a_n\} por
G(x) \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^n \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \binom{8}{n} x^n.
Como \binom{8}{n}=0 para n>8, esse somatório é na prática finito.

Passo 3

Pelo Teorema Binomial temos
(1+x)^8 \;=\; \sum_{n=0}^{8} \binom{8}{n} x^n.
Como para n>8 o coeficiente binomial é zero, podemos escrever
(1+x)^8 \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \binom{8}{n} x^n.

Resposta

G(x) \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \;=\; (1+x)^8.

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