Resolva as relações de recorrência abaixo com as condições iniciais dadas.
a_{n}=5 a_{n-1}-6 a_{n-2} para n \geq 2, a_{0}=1, a_{1}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a recorrência
a_{n}=5\,a_{n-1}-6\,a_{n-2},\quad n\ge2,
com condições iniciais a_{0}=1 e a_{1}=0.
Este é um caso de recorrência linear homogênea com coeficientes constantes, que vamos resolver pelo método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado à recorrência:
r^{2}-5r+6=0.

Passo 3

Resolvendo
r^{2}-5r+6=0
temos as raízes
r_{1}=2 \quad\text{e}\quad r_{2}=3.

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral da recorrência é da forma
a_{n}=A\cdot 2^{n}+B\cdot 3^{n},
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Impondo n=0 em a_{n}, vem
a_{0}=A+B=1.
Impondo n=1, vem
a_{1}=2A+3B=0.

Passo 6

Resolvendo o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ 2A + 3B = 0, \end{cases}
da primeira equação A=1-B. Substituindo na segunda:
2(1-B)+3B=0 \quad\Rightarrow\quad 2 -2B+3B=0 \quad\Rightarrow\quad B=-2,
logo A=1-(-2)=3.

Passo 7

Substituindo A=3 e B=-2 na solução geral, obtemos
a_{n}=3\cdot2^{n}-2\cdot3^{n}.

Resposta

a_{n}=3\cdot2^{n}-2\cdot3^{n}.

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