Resolva as relações de recorrência abaixo com as condições iniciais dadas. a_{n}=5 a_{n-1}-6 a_{n-2} para n \geq 2, a_{0}=1, a_{1}=0
Passo 1
O enunciado nos dá a recorrência
a_{n}=5\,a_{n-1}-6\,a_{n-2},\quad n\ge2,
com condições iniciais a_{0}=1 e a_{1}=0.
Este é um caso de recorrência linear homogênea com coeficientes constantes, que vamos resolver pelo método do polinômio característico.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico associado à recorrência:
r^{2}-5r+6=0.
Passo 3
Resolvendo
r^{2}-5r+6=0
temos as raízes
r_{1}=2 \quad\text{e}\quad r_{2}=3.
Passo 4
Como as raízes são distintas, a solução geral da recorrência é da forma
a_{n}=A\cdot 2^{n}+B\cdot 3^{n},
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Impondo n=0 em a_{n}, vem
a_{0}=A+B=1.
Impondo n=1, vem
a_{1}=2A+3B=0.
Passo 6
Resolvendo o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ 2A + 3B = 0, \end{cases}
da primeira equação A=1-B. Substituindo na segunda: