Resolva as relações de recorrência abaixo com as condições iniciais dadas.
Determine a solução para recorrência:
a_{n}=a_{n-1}+6 a_{n-2} para n \geq 2, a_{0}=3, a_{1}=6

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por uma recorrência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
a_{n} = a_{n-1} + 6\,a_{n-2},\quad n\ge2,
com condições iniciais a_{0}=3 e a_{1}=6. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado à recorrência:
r^2 - r - 6 = 0.
Resolvendo, obtemos as raízes
r = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2},
isto é, r_{1}=3 e r_{2}=-2.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral da recorrência é
a_{n} = A\cdot 3^n + B\cdot(-2)^n,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Impondo n=0\) e \(n=1\) na fórmula geral, temos o sistema \[\begin{cases} A + B = 3,\\[6pt] 3A - 2B = 6. \end{cases}
Da primeira equação (B=3-A]. Substituindo na segunda:
3A - 2(3-A) = 6 \quad\Longrightarrow\quad 5A = 12 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{12}{5},
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B = 3 - \frac{12}{5} = \frac{3}{5}.]

Resposta

a_{n} = \frac{12}{5}\,3^n + \frac{3}{5}\,(-2)^n.

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