Resolva as relações de recorrência abaixo com as condições iniciais dadas.
a_{n}=-4 a_{n-1}-4 a_{n-2} para n \geq 2, a_{0}=0, a_{1}=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a relação de recorrência linear homogênea de segunda ordem
a_{n} = -4\,a_{n-1} \;-\;4\,a_{n-2},\quad n\ge2
com condições iniciais a_{0}=0 e a_{1}=1.
Para isso, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Construímos o polinômio característico associado à recorrência, trocando a_{n} por r^n:
r^2 + 4r + 4 = 0.
Note que esse polinômio tem raiz dupla, pois
r^2 + 4r + 4 = (r + 2)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = -2\text{ (multiplicidade 2).}

Passo 3

Como a raiz -2 é de multiplicidade 2, a forma geral da solução é
a_{n} = \bigl(C_{1} + C_{2}\,n\bigr)\,(-2)^{n},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais:
Para n=0:
a_{0} = \bigl(C_{1} + C_{2}\cdot0\bigr)(-2)^{0} = C_{1} = 0.
Para n=1:
a_{1} = \bigl(0 + C_{2}\cdot1\bigr)(-2)^{1} = C_{2}\,(-2) = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_{2} = -\tfrac12.

Passo 5

Substituindo C_{1}=0 e C_{2}=-\tfrac12 na solução geral, obtemos
a_{n} = \Bigl(0 - \tfrac12\,n\Bigr)\,(-2)^{n} = -\frac{n}{2}\,(-2)^{n}.
Podemos também reescrever usando (-2)^{n}=(-1)^{n}2^{n}:
a_{n} = -\frac{n}{2}\,(-1)^{n}2^{n} = (-1)^{n+1}\,n\,2^{\,n-1}.

Resposta

a_{n} = -\frac{n}{2}\,(-2)^{n} \quad\text{ou}\quad a_{n} = (-1)^{n+1}\,n\,2^{\,n-1}.

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