Resolva as relações de recorrência abaixo com as condições iniciais dadas.
Determine a solução para recorrência:
a_{n}=7 a_{n-1}-10 a_{n-2} para n \geq 2, a_{0}=2, a_{1}=1

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução fechada da recorrência linear homogênea de segunda ordem
a_{n}=7\,a_{n-1}-10\,a_{n-2},\quad n\ge2,
com condições iniciais a_{0}=2 e a_{1}=1.
O conteúdo é resolução de recorrência por equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada trocando a_{n} por r^{n}:
r^{n}=7\,r^{n-1}-10\,r^{n-2}
Dividindo por r^{n-2} (com r\neq0) obtemos
r^{2}-7r+10=0.

Passo 3

Resolvendo
r^{2}-7r+10=0
fazemos a fatoração
r^{2}-7r+10=(r-5)(r-2)=0,
logo as raízes são
r_{1}=5,\quad r_{2}=2.

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral da recorrência é
a_{n}=A\cdot 5^{n}+B\cdot 2^{n},
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Usamos a_{0}=2\) e \(a_{1}=1\): \[a_{0}=A\cdot 5^{0}+B\cdot 2^{0}=A+B=2,
a_{1}=A\cdot 5^{1}+B\cdot 2^{1}=5A+2B=1.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} A+B=2,\\\\ 5A+2B=1, \end{cases}
subtraindo duas vezes a primeira da segunda:
5A+2B-2(A+B)=1-2\cdot2 \quad\Longrightarrow\quad3A=-3 \quad\Longrightarrow\quad A=-1,
e daí (B=2-A=2-(-1)=3].

Passo 6

Substituindo A e B na solução geral, obtemos a solução particular
a_{n}=-1\cdot5^{n}+3\cdot2^{n}.

Resposta

a_{n}=-5^{n}+3\cdot2^{n}.

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