Resolva as relações de recorrência abaixo com as condições iniciais dadas.
Determine a solução para recorrência: a_{n}=7 a_{n-1}-10 a_{n-2} para n \geq 2, a_{0}=2, a_{1}=1
Passo 1
O enunciado pede para achar a solução fechada da recorrência linear homogênea de segunda ordem
a_{n}=7\,a_{n-1}-10\,a_{n-2},\quad n\ge2,
com condições iniciais a_{0}=2 e a_{1}=1.
O conteúdo é resolução de recorrência por equação característica.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada trocando a_{n} por r^{n}:
r^{n}=7\,r^{n-1}-10\,r^{n-2}
Dividindo por r^{n-2} (com r\neq0) obtemos
r^{2}-7r+10=0.
Passo 3
Resolvendo
r^{2}-7r+10=0
fazemos a fatoração
r^{2}-7r+10=(r-5)(r-2)=0,
logo as raízes são
r_{1}=5,\quad r_{2}=2.
Passo 4
Como as raízes são distintas, a solução geral da recorrência é
a_{n}=A\cdot 5^{n}+B\cdot 2^{n},
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Usamos a_{0}=2\) e \(a_{1}=1\):
\[a_{0}=A\cdot 5^{0}+B\cdot 2^{0}=A+B=2,