Encontre a fórmula de Taylor de cada função, no ponto
indicado, até os termos de terceira ordem.
.
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de terceira ordem de
em torno de
.
Conteúdo: expansão de funções compostas (logaritmo e exponencial) em duas variáveis. Vamos usar incrementos
e
,
expansão de em
e de
em
, agrupando termos até ordem total 3 em
.
Conteúdo: expansão de funções compostas (logaritmo e exponencial) em duas variáveis. Vamos usar incrementos
expansão de
Passo 2
Primeiro expandimos
em série de Taylor até ordem 3 em
:
Passo 3
Multiplicamos por
para obter o expoente
Isto é,
Passo 4
Agora expandimos
Como
já é de ordem
, mantemos só termos de grau total até 3 em
.
Passo 5
Calculamos os contribuintes de cada potência de
:
-
traz
-
:
-
:
Passo 6
Somando tudo (e descartando
), obtemos
Substituindo
e
:
Passo 7
O polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de
é