Encontre a fórmula de Taylor de cada função, no ponto P0 indicado, até os termos de terceira ordem.
f(x, y)=x^y=e^y ln x, P0=(1,0).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de terceira ordem de
f(x,y)=x^y=e^yln x
em torno de P0=(1,0).
Conteúdo: expansão de funções compostas (logaritmo e exponencial) em duas variáveis. Vamos usar incrementos
De<a x = x-1 e De<a y = y,
expansão de ln x em De<a x e de e^A em A, agrupando termos até ordem total 3 em De<a x,De<a y.

Passo 2

Primeiro expandimos
ln x = ln(1+De<a x)
em série de Taylor até ordem 3 em De<a x:
ln x = De<a x - tfrac12,De<a x^2 + tfrac13,De<a x^3 + o(De<a x^3)

Passo 3

Multiplicamos por y=De<a y para obter o expoente
A = y,ln x = De<a yl(De<a x - tfrac12,De<a x^2 + tfrac13,De<a x^3r) + o(ord 3)
Isto é,
A = De<a y,De<a x ;-;tfrac12,De<a y,De<a x^2;+;tfrac13,De<a y,De<a x^3 + o(3)

Passo 4

Agora expandimos
e^A =1 + A + tfracA^22 + tfracA^36 + o(A^3)
Como A já é de ordem De<a x,De<a y, mantemos só termos de grau total até 3 em De<a x,De<a y.

Passo 5

Calculamos os contribuintes de cada potência de A:
  1. A traz
De<a y,De<a x;-;tfrac12,De<a y,De<a x^2;+;tfrac13,De<a y,De<a x^3
  1. tfracA^22:
A^2=(De<a y,De<a x)^2 +2(De<a y,De<a x)l(-tfrac12,De<a y,De<a x^2r) +o(3),
A^22 = tfrac12,De<a y^2,De<a x^2 ;-;tfrac12,De<a y^2,De<a x^3 +o(3)
  1. tfracA^36:
(De<a y,De<a x)^3=De<a y^3,De<a x^3, (De<a y,De<a x)^36 =tfrac16,De<a y^3,De<a x^3

Passo 6

Somando tudo (e descartando o(3)), obtemos
f(x,y)=e^A =1 +l[De<a y,De<a xr] +l[-tfrac12,De<a y,De<a x^2 +tfrac12,De<a y^2,De<a x^2r] +l[tfrac13,De<a y,De<a x^3 -tfrac12,De<a y^2,De<a x^3 +tfrac16,De<a y^3,De<a x^3r]
Substituindo De<a x=x-1 e De<a y=y:

Passo 7

O polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de (1,0) é
boxed T3(x,y)=;1 &+y,(x-1) &-tfrac12,y,(x-1)^2 +tfrac12,y^2,(x-1)^2 &+tfrac13,y,(x-1)^3 -tfrac12,y^2,(x-1)^3 +tfrac16,y^3,(x-1)^3

Resposta

T3(x,y)=1 + y,(x-1) - tfrac12,y,(x-1)^2 + tfrac12,y^2,(x-1)^2 + tfrac13,y,(x-1)^3 - tfrac12,y^2,(x-1)^3 + tfrac16,y^3,(x-1)^3

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