Ache a fórmula de Taylor referente à origem de cada função até os termos de segunda ordem.
f(x, y)=arctan 1+x1-y.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de segunda ordem em torno da origem para
f(x,y)=arctan1+x1-y
Vamos usar a forma geral
T2(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y+tfrac12l(fxx(0,0)x^2+2fxy(0,0)xy+fyy(0,0)y^2r)

Passo 2

Calculemos primeiro o valor de f na origem:
f(0,0)=arctan1+01-0=arctan(1)=pi4

Passo 3

Defina
g(x,y)=1+x1-y,
então f(x,y)=arctan g(x,y). As derivadas de primeira ordem são
fx=gx1+g^2, fy=gy1+g^2
Como
gx=11-y, gy=1+x(1-y)^2,
em (0,0) temos g(0,0)=1, gx(0,0)=1, gy(0,0)=1 e 1+g^2=2. Logo
fx(0,0)=12, fy(0,0)=12

Passo 4

Agora as derivadas de segunda ordem, usando
fxx=gxx(1+g^2)-2g,gx^2(1+g^2)^2, fyy=gyy(1+g^2)-2g,gy^2(1+g^2)^2, fxy=gxy(1+g^2)-2g,gxgy(1+g^2)^2
Calculamos em (0,0):
gxx=0, gyy=2, gxy=1,
portanto, com g(0,0)=1 e 1+g^2=2,
fxx(0,0)=0cdot2-2cdot1cdot14=-tfrac12, fyy(0,0)=2cdot2-2cdot1cdot14=+tfrac12, fxy(0,0)=1cdot2-2cdot1cdot14=0

Passo 5

Substituindo tudo em T2, obtemos
T2(x,y)=pi4+12,x+12,y +12l(-tfrac12,x^2+2cdot0cdot xy+tfrac12,y^2r)
Simplificando os coeficientes de segunda ordem:
T2(x,y)=pi4+x+y2-x^24+y^24

Resposta

f(x,y)approx pi4+x+y2-x^24+y^24 (até termos de segunda ordem) é

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