Ache a fórmula de Taylor referente à origem de cada função até os termos de segunda ordem.
f(x, y)=cos xcos y.

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Taylor de segunda ordem de
f(x,y)=dfraccos xcos y
em torno da origem (0,0).
Para isso vamos usar a fórmula de Taylor em duas variáveis até a ordem dois, que envolve o valor de f na origem, as derivadas parciais primeiras e segundas avaliadas em (0,0).

Passo 2

A fórmula de Taylor de segunda ordem de uma função f(x,y) em torno de (0,0) é
T(x,y)=f(0,0)+fx(0,0),x+fy(0,0),y +12l(fxx(0,0),x^2+2fxy(0,0),x y+fyy(0,0),y^2r)

Passo 3

Calculamos as derivadas em (0,0):
  1. Valor em (0,0):
    f(0,0)=dfraccos0cos0=1
  2. Derivadas primeiras:
    fx(x,y)=-sin xcos y, fy(x,y)=cos x;sin ycos^2y
    Portanto
    fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0.
  3. Derivadas segundas:
    fxx(x,y)=-cos xcos yRightarrow fxx(0,0)=-1,
fxy(x,y) =partialpartial yl(-sin xcos yr) =-sin x;sin ycos^2y Rightarrow fxy(0,0)=0,
fyy(x,y) =partialpartial yl(cos x;sin ycos^2yr) Rightarrow fyy(0,0)=1

Passo 4

Substituindo na fórmula de Taylor:
T(x,y)=1 + 0cdot x + 0cdot y +12l((-1),x^2+2cdot0cdot x y +1cdot y^2r) =1 - x^22 + y^22

Resposta

f(x,y)approx 1 ;-;x^22;+;y^22 (até termos de segunda ordem) é

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