Encontre a fórmula de Taylor de cada função, no ponto P0 indicado, até os termos de terceira ordem.
f(x, y)=arctan x / y, P0=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Taylor de terceira ordem da função
f(x,y)=arctan!l(tfracxyr)
em torno de P0=(1,1).
O que vamos precisar é:
– calcular u(x,y)=x/y e suas derivadas até terceira ordem em (1,1);
– calcular g(u)=arctan(u) e suas derivadas g',g'',g''' em u=1;
– aplicar a regra da cadeia para obter todas as derivadas parciais de f até ordem 3 em (1,1);
– montar o polinômio de Taylor
T3(x,y)=f0+fxh+fyk+tfrac12l(fxxh^2+2fxyhk+fyyk^2r) +tfrac16l(fxxxh^3+3fxxyh^2k+3fxyyhk^2+fyyyk^3r)
com h=x-1 e k=y-1.

Passo 2

Definimos
u=xy, g(u)=arctan(u),
então f(x,y)=g(u(x,y)). As derivadas de g em u=1 são
g'(u)=11+u^2, g''(u)=-2u(1+u^2)^2, g'''(u)=2(3u^2-1)(1+u^2)^3
Em u=1 isso dá
g'(1)=tfrac12, g''(1)=-tfrac12, g'''(1)=tfrac12

Passo 3

Calculamos as derivadas de u=x/y em (1,1):
ux=tfrac1y|(1,1)=1, uy=-tfracxy^2|(1,1)=-1,
uxx=0, uxy=-tfrac1y^2|(1,1)=-1, uyy=2tfracxy^3|(1,1)=2,
todas as derivadas de terceira ordem de u são zero.

Passo 4

Usando a regra da cadeia, as primeiras derivadas de f em (1,1) são
fx=g'(1),ux=tfrac12, fy=g'(1),uy=-tfrac12
As segundas derivadas são
fxx=g''(1),ux^2=-tfrac12, fxy=g''(1),uxuy+g'(1),uxy=0, fyy=g''(1),uy^2+g'(1),uyy=tfrac12

Passo 5

Para as terceiras derivadas usamos
fabc=g'''ua ub uc +g''l(uabuc+uacub+ubcuar) +g',uabc,
com uabc=0. Em (1,1) obtemos
fxxx=tfrac12, fxxy=tfrac12, fxyy=-tfrac32, fyyy=tfrac52

Passo 6

Agora montamos o polinômio de Taylor com h=x-1, k=y-1 e f0=f(1,1)=pi/4:
T3(x,y)=pi4 +12,h-12,k +12l(-tfrac12,h^2+0cdot hk+tfrac12,k^2r)
+16l(tfrac12,h^3 +3cdottfrac12,h^2k +3cdot(-tfrac32),hk^2 +tfrac52,k^3r)
Simplificando coeficientes,
T3(x,y)=pi4 +tfrac12h-tfrac12k -tfrac14h^2+tfrac14k^2 +tfrac112h^3+tfrac14h^2k-tfrac34hk^2+tfrac512k^3

Resposta

boxed arctan!l(tfracxyr)approx pi4 +tfrac12(x-1)-tfrac12(y-1) -tfrac14(x-1)^2+tfrac14(y-1)^2 +tfrac112(x-1)^3 +tfrac14(x-1)^2(y-1) -tfrac34(x-1)(y-1)^2 +tfrac512(y-1)^3

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