Encontre a fórmula de Taylor de cada função, no ponto P0 indicado, até os termos de terceira ordem.
f(x, y)=x^2 y-cos x y, P0=(1, pi / 2).

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Taylor de terceira ordem de
f(x,y)=x^2y-cos(xy)
em torno do ponto P0=(1,tfracpi2).
O conteúdo necessário é a fórmula de Taylor multinomial até ordem três, que envolve derivadas parciais de até terceira ordem avaliadas em P0, e os incrementos
De<a x = x-1 e De<a y = y-tfracpi2.

Passo 2

A expansão de Taylor de f até ordem três em (a,b) é
f(a,b)&+fx(a,b),De<a x+fy(a,b),De<a y &+tfrac12l[fxx(a,b),De<a x^2+2fxy(a,b),De<a x,De<a y+fyy(a,b),De<a y^2r] &+tfrac16l[fxxx(a,b),De<a x^3+3fxxy(a,b),De<a x^2De<a y+3fxyy(a,b),De<a x,De<a y^2+fyyy(a,b),De<a y^3r]

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais gerais de f:
fx&=2xy+ysin(xy),& fy&=x^2+xsin(xy), fxx&=2y+y^2cos(xy),& fxy&=2x+sin(xy)+xycos(xy),& fyy&=x^2cos(xy)

Passo 4

Agora as derivadas de terceira ordem:
fxxx&=-y^3sin(xy),& fxxy&=2ycos(xy)-xy^2sin(xy), fxyy&=2xcos(xy)-x^2ysin(xy),& fyyy&=-x^3sin(xy)

Passo 5

Avalia-mos todas as derivadas em (a,b)=(1,tfracpi2). Como xyl|(1,pi/2)=pi/2, temos cos(pi/2)=0, sin(pi/2)=1. Logo
f(1,tfracpi2)&=tfracpi2, & fx&=tfrac3pi2, & fy&=2, fxx&=pi, & fxy&=3, & fyy&=0, fxxx&=-tfracpi^38, & fxxy&=-tfracpi^24, & fxyy&=-tfracpi2, & fyyy&=-1

Passo 6

Substituindo na fórmula de Taylor com De<a x=x-1 e De<a y=y-tfracpi2, obtemos
T3(x,y)&=tfracpi2 +tfrac3pi2,De<a x +2,De<a y &+tfrac12l(pi,De<a x^2+6,De<a x,De<a yr) &+tfrac16l(-tfracpi^38,De<a x^3 -3cdottfracpi^24,De<a x^2De<a y -3cdottfracpi2,De<a x,De<a y^2 -1cdotDe<a y^3r)
Simplificando os coeficientes de cada ordem:

Resposta

T3(x,y)&=pi2 +3pi2(x-1) +2l(y-tfracpi2r) +pi2(x-1)^2 +3,(x-1)l(y-tfracpi2r) &-pi^348(x-1)^3 -pi^28(x-1)^2l(y-tfracpi2r) -pi4(x-1)l(y-tfracpi2r)^2 -16l(y-tfracpi2r)^3

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