Encontre o menor número inteiro
para que
seja
para cada uma destas funções.
Passo 1
O enunciado pede o menor inteiro
tal que
seja da ordem de grandeza de
, isto é,
quando
. Vamos usar o conceito de desigualdade assintótica e a comparação de taxas de crescimento de funções elementares.
Passo 2
Entre os dois termos de
, o termo polinomial
cresce muito mais rápido que o termo
. De fato, para todo
vale
e em particular
. Logo, para
suficientemente grande existe constante
tal que
Passo 3
Assim, para
grande temos
Isto mostra que existe constante
e
tais que, para todo
,
ou seja,
.
Passo 4
Para verificar que não há inteiro menor que
que funcione, note que se tentássemos
teríamos
logo
não é
. O mesmo vale para
.
Resposta
O menor inteiro
para o qual
é