Encontre o menor número inteiro n para que f(x) seja O\left(x^{n}\right) para cada uma destas funções.
f(x)=3 x^{3}+(\log x)^{4}

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro n tal que
f(x)=3x^{3}+(\log x)^{4}
seja da ordem de grandeza de x^{n}, isto é, f(x)=O(x^{n}) quando x\to\infty. Vamos usar o conceito de desigualdade assintótica e a comparação de taxas de crescimento de funções elementares.

Passo 2

Entre os dois termos de f(x), o termo polinomial 3x^{3} cresce muito mais rápido que o termo (\log x)^{4}. De fato, para todo \varepsilon>0 vale
(\log x)^{4} = o\bigl(x^{\varepsilon}\bigr) \quad\text{quando }x\to\infty,
e em particular (\log x)^{4}=o(x^{3}). Logo, para x suficientemente grande existe constante C_1>0 tal que
(\log x)^{4} \le C_1\,x^{3}.

Passo 3

Assim, para x grande temos
f(x)=3x^{3}+(\log x)^{4} \le 3x^{3} + C_1\,x^{3} = (3+C_1)\,x^{3}.
Isto mostra que existe constante C=3+C_1 e x_0 tais que, para todo x\ge x_0,
f(x)\le C\,x^{3},
ou seja, f(x)=O(x^{3}).

Passo 4

Para verificar que não há inteiro menor que 3 que funcione, note que se tentássemos n=2 teríamos
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^{2}} =\lim_{x\to\infty}\bigl(3x + \tfrac{(\log x)^{4}}{x^{2}}\bigr) =+\infty,
logo f(x) não é O(x^{2}). O mesmo vale para n=0,1.

Resposta

O menor inteiro n para o qual f(x)=O(x^{n}) é \boxed{3}.

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