Nos exercícios de 1 a 14, para estabelecer uma relação O grande, encontre os parâmetros C e k, tal que |f(x)| \leq C|g(x)| sempre que x>k.
Determine se cada uma destas funções é O\left(x^{2}\right).
f(x)=\lfloor x\rfloor \cdot\lceil x\rceil

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor\cdot\lceil x\rceil
é O(x^2), ou seja, encontrar constantes C>0 e k tais que
|f(x)| \le C\,|x^2|\quad\text{sempre que }x>k.

Passo 2

Para x>1 valem as desigualdades
\lfloor x\rfloor \le x \quad\text{e}\quad \lceil x\rceil < x+1.

Passo 3

Multiplicando as duas desigualdades, obtemos para x>1:
\lfloor x\rfloor\cdot\lceil x\rceil \le x\,(x+1) = x^2 + x.

Passo 4

Como x>1 implica x\le x^2, temos
x^2 + x \le x^2 + x^2 = 2\,x^2.
Portanto, para todo x>1,
|f(x)| = \lfloor x\rfloor\cdot\lceil x\rceil \le 2\,x^2.
Basta escolher C=2 e k=1.

Passo 5

Concluímos que existem C=2 e k=1 tais que
|f(x)| \le C\,|x^2|\quad\text{para todo }x>k,
logo \lfloor x\rfloor\cdot\lceil x\rceil é O(x^2).

Resposta

Tomando C=2 e k=1, temos \lfloor x\rfloor\cdot\lceil x\rceil=O(x^2).

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