Encontre o menor número inteiro n para que f(x) seja O\left(x^{n}\right) para cada uma destas funções.
f(x)=2 x^{2}+x^{3} \log x

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro n tal que
f(x)=2x^{2}+x^{3}\log x
seja O(x^{n}) quando x\to\infty. Vamos usar a definição:
f(x)=O(x^{n})\quad\text{se existem constantes }C>0\text{ e }x_{0}\text{ tais que }|f(x)|\le C\,x^{n}\quad\forall x\ge x_{0}.

Passo 2

Analisando o termo 2x^{2}: para qualquer inteiro n\ge2 temos
2x^{2}\le 2x^{n}\quad\text{para }x\ge1,
logo 2x^{2}=O(x^{n}) sempre que n\ge2.

Passo 3

Analisando o termo x^{3}\log x: se tentássemos n=3 precisaríamos de
x^{3}\log x\le C\,x^{3}\quad\Longrightarrow\quad\log x\le C,
o que falha para x\to\infty. Então não é O(x^{3}).

Passo 4

Testamos n=4. Para x\ge e vale \log x\le x, logo
x^{3}\log x\le x^{3}\cdot x=x^{4}.
Além disso, para x\ge1 temos 2x^{2}\le2x^{4}. Somando,
|f(x)|=2x^{2}+x^{3}\log x\le 2x^{4}+x^{4}=3x^{4},
portanto podemos tomar C=3 e x_{0}=e, garantindo f(x)=O(x^{4}).

Resposta

n=4

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