Mostre que \left(x^{2}+1\right) /(x+1) é O(x).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x+1}
é O(x) quando x\to +\infty. Vamos usar a definição de grande-O e manipular algebricamente a expressão para obter uma desigualdade do tipo \lvert f(x)\rvert\le C\,\lvert x\rvert para x suficientemente grande.

Passo 2

Definição de O(x): dizemos que f(x) é O(x) se existem constantes C>0 e x_{0} tais que, para todo x\ge x_{0},
\lvert f(x)\rvert \le C\,\lvert x\rvert.

Passo 3

Façamos a divisão polinomial ou manipulemos:
\frac{x^{2}+1}{x+1} = \frac{x^{2}-1+2}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} + \frac{2}{x+1} = x-1 + \frac{2}{x+1}.

Passo 4

Para x\ge1 temos
\biggl\lvert x-1\biggr\rvert \le x+1, \qquad \biggl\lvert \frac{2}{x+1}\biggr\rvert \le 2.
Somando,
\biggl\lvert \frac{x^{2}+1}{x+1}\biggr\rvert \le (x+1) + 2 = x+3.
E, como para x\ge1 vale x+3 \le 4x, segue
\biggl\lvert \frac{x^{2}+1}{x+1}\biggr\rvert \le 4x.

Passo 5

Basta escolher C=4 e x_{0}=1. Então, para todo x\ge x_{0},
\biggl\lvert \frac{x^{2}+1}{x+1}\biggr\rvert \le 4\,x,
o que mostra que
\frac{x^{2}+1}{x+1} = O(x).

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}+1}{x+1} é O(x).

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