Encontre o menor número inteiro n para que f(x) seja O\left(x^{n}\right) para cada uma destas funções.
f(x)=\left(x^{4}+x^{2}+1\right) /\left(x^{3}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro n tal que
f(x)=\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{3}+1}
seja O\bigl(x^{n}\bigr) quando x\to\infty. Vamos usar a definição de notação assintótica e analisar o comportamento de f(x) para grandes x.

Passo 2

Para ver o comportamento de f(x) quando x\to\infty, dividimos numerador e denominador por x^{3}:
f(x) = \frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{3}+1} = x \cdot \frac{1 + x^{-2} + x^{-4}}{1 + x^{-3}}.

Passo 3

Como x^{-2},x^{-3},x^{-4}\to0 quando x\to\infty, a fração
\frac{1 + x^{-2} + x^{-4}}{1 + x^{-3}}
tende a 1. Logo, para x grande,
f(x)\sim x,
o que implica f(x)=\Theta(x) e, portanto, f(x)=O(x^1).

Passo 4

Não é possível escolher n=0 (pois f(x) cresce sem limite), então o menor inteiro que satisfaz f(x)=O(x^n) é

Resposta

n = 1

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