Nos exercícios de 1 a 14, para estabelecer uma relação O grande, encontre os parâmetros C e k, tal que |f(x)| \leq C|g(x)| sempre que x>k.
Determine se cada uma destas funções é O\left(x^{2}\right).
f(x)=x \log x

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
\lvert f(x)\rvert \le C\,\lvert g(x)\rvert\quad\text{para }x>k
no caso f(x)=x\log x e g(x)=x^2. Trata-se de verificar se f(x) é O(x^2), isto é, se existem constantes positivas C e k tais que
\lvert x\log x\rvert \le C\,x^2\quad\text{sempre que }x>k.

Passo 2

Vamos usar a desigualdade clássica \log x \le x que vale para todo x\ge1. Uma forma rápida de ver isso é considerar a função
\varphi(x)=x-\log x,
cuja derivada é \varphi'(x)=1-\tfrac1x\ge0 para x\ge1. Logo \varphi é crescente em [1,\infty) e \varphi(1)=1>0, o que implica x-\log x\ge1>0 e, em particular, \log x\le x.

Passo 3

Para x\ge1 temos \log x\ge0, de modo que
\lvert x\log x\rvert = x\log x \le x\cdot x = x^2.

Passo 4

Da desigualdade acima vemos que basta escolher
C=1, \quad k=1,
pois para todo x>k=1 vale
\lvert f(x)\rvert = x\log x \le x^2 = C\,x^2 = C\,\lvert g(x)\rvert.

Passo 5

Concluímos que x\log x satisfaz a definição de O(x^2), pois encontramos constantes C=1 e k=1 que garantem \lvert x\log x\rvert \le C\,x^2 para todo x>k.

Resposta

f(x)=x\log x é O(x^2) com, por exemplo, C=1 e k=1.

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