Encontre o menor número inteiro n para que f(x) seja O\left(x^{n}\right) para cada uma destas funções.
f(x)=\left(x^{4}+x^{2}+1\right) /\left(x^{4}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro n tal que
f(x)=\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{4}+1}
seja \mathcal{O}(x^{n}) quando x\to\infty. O conteúdo aqui é análise de ordem de grandeza usando notação de Landau.

Passo 2

Lembrando que dizemos f(x)=\mathcal{O}(x^{n}) se existem constantes C>0 e x_{0} tais que para todo x\ge x_{0} valha
\bigl|f(x)\bigr|\le C\,x^{n}.
Nos interessa escolher o menor n\in\mathbb{Z} que satisfaça essa desigualdade.

Passo 3

Para grandes x, os termos dominantes de numerador e denominador são ambos de grau 4. Logo
f(x)=\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{4}+1} \;\xrightarrow[x\to\infty]{}\;1.
Isto mostra que f(x) fica limitada por uma constante quando x cresce muito.

Passo 4

Se f(x) tende a um valor finito não nulo, então existe M>0 e x_{0} tais que \bigl|f(x)\bigr|\le M para todo x\ge x_{0}. Isso é exatamente dizer que
f(x)=\mathcal{O}(1)
ou seja \mathcal{O}(x^{0}). Não dá para escolher n<0, pois x^{n} iria a zero e f(x)/x^{n} cresceria sem limite.

Resposta

O menor inteiro n é 0.

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