Encontre o menor número inteiro n para que f(x) seja O\left(x^{n}\right) para cada uma destas funções. f(x)=\left(x^{4}+x^{2}+1\right) /\left(x^{4}+1\right)
Passo 1
O enunciado pede o menor inteiro n tal que
f(x)=\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{4}+1}
seja \mathcal{O}(x^{n}) quando x\to\infty. O conteúdo aqui é análise de ordem de grandeza usando notação de Landau.
Passo 2
Lembrando que dizemos f(x)=\mathcal{O}(x^{n}) se existem constantes C>0 e x_{0} tais que para todo x\ge x_{0} valha
\bigl|f(x)\bigr|\le C\,x^{n}.
Nos interessa escolher o menor n\in\mathbb{Z} que satisfaça essa desigualdade.
Passo 3
Para grandes x, os termos dominantes de numerador e denominador são ambos de grau 4. Logo