Encontre o menor número inteiro n para que f(x) seja O\left(x^{n}\right) para cada uma destas funções.
f(x)=3 x^{5}+(\log x)^{4}

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro n tal que
f(x)=3x^5+(\log x)^4
seja O(x^n) quando x\to\infty. Lembrando que f(x)=O(g(x)) significa que existe constante C>0 e x_0 tais que \lvert f(x)\rvert\le C\,\lvert g(x)\rvert para todo x>x_0.

Passo 2

Analisando o primeiro termo, temos
3x^5=O(x^n)
se, e somente se, n\ge5, pois para n<5 não há constante C que faça 3x^5\le Cx^n quando x cresce.

Passo 3

O segundo termo cresce mais devagar que qualquer potência positiva de x. Em particular, para qualquer n>0 existe C tal que
(\log x)^4 \le C\,x^n
quando x é grande. Logo, não impõe limite extra além de n>0.

Passo 4

Para que ambos os termos sejam O(x^n), basta escolher n maior ou igual a 5, e o menor inteiro com essa propriedade é

Resposta

n=5

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