Encontre o menor número inteiro n para que f(x) seja O\left(x^{n}\right) para cada uma destas funções. f(x)=\left(x^{3}+5 \log x\right) /\left(x^{4}+1\right)
Passo 1
O enunciado pede o menor inteiro n tal que
f(x)=\frac{x^{3}+5\log x}{x^{4}+1}
seja O(x^{n}) quando x\to\infty. Vamos usar a definição de grande-O: f(x)=O(x^{n}) se existem constantes C>0 e X_{0} tais que \lvert f(x)\rvert\le C\,\lvert x^{n}\rvert para todo x\ge X_{0}.
Passo 2
Estudamos os termos de maior crescimento em numerador e denominador para x\to\infty:
Numerador: x^{3} domina 5\log x.
Denominador: x^{4} domina 1.
Logo, para x grande,
f(x)\approx\frac{x^{3}}{x^{4}}=x^{-1}.
Passo 3
Da aproximação f(x)\sim x^{-1} já vemos que um candidato é n=-1. Agora comprovamos que com esse n a desigualdade de grande-O vale.