Encontre o menor número inteiro n para que f(x) seja O\left(x^{n}\right) para cada uma destas funções.
f(x)=\left(x^{3}+5 \log x\right) /\left(x^{4}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro n tal que
f(x)=\frac{x^{3}+5\log x}{x^{4}+1}
seja O(x^{n}) quando x\to\infty. Vamos usar a definição de grande-O: f(x)=O(x^{n}) se existem constantes C>0 e X_{0} tais que \lvert f(x)\rvert\le C\,\lvert x^{n}\rvert para todo x\ge X_{0}.

Passo 2

Estudamos os termos de maior crescimento em numerador e denominador para x\to\infty:
  • Numerador: x^{3} domina 5\log x.
  • Denominador: x^{4} domina 1.
Logo, para x grande,
f(x)\approx\frac{x^{3}}{x^{4}}=x^{-1}.

Passo 3

Da aproximação f(x)\sim x^{-1} já vemos que um candidato é n=-1. Agora comprovamos que com esse n a desigualdade de grande-O vale.

Passo 4

Considere
\frac{f(x)}{x^{-1}} =\;x\;\frac{x^{3}+5\log x}{x^{4}+1} =\frac{x^{4}+5\,x\log x}{x^{4}+1}.
Para x\to\infty temos \frac{x^{4}+5x\log x}{x^{4}+1}\to1, logo existe C e X_{0} tais que
\bigl|f(x)\bigr|\le C\,x^{-1} \quad\text{para }x\ge X_{0},
ou seja, f(x)=O(x^{-1}).

Passo 5

Se tentássemos n<-1, por exemplo n=-2, teríamos
\frac{f(x)}{x^{-2}} =x^{2}\frac{x^{3}+5\log x}{x^{4}+1} \sim x^{2}\cdot x^{-1}=x\to\infty,
logo não existe constante C que limite \lvert f(x)\rvert por C\,x^{-2}. Assim n=-1 é o menor inteiro possível.

Resposta

O menor inteiro n tal que f(x)=O(x^{n}) é -1.

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