Use a definição de " f(x) é O(g(x)) " para mostrar que 2^{x}+17 is O\left(3^{x}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função \,f(x)=2^{x}+17 é um elemento de O\bigl(3^{x}\bigr). O conteúdo envolvido é a definição de notação assintótica “Big-O”, que diz que existem constantes C>0 e x_{0} tais que, para todo x\ge x_{0}, vale
\lvert f(x)\rvert \le C\,\lvert g(x)\rvert,
aqui com g(x)=3^{x}.

Passo 2

Lembrando a definição: dizemos que f(x) é O\bigl(g(x)\bigr) se existir C>0 e x_{0} tais que, para todo x\ge x_{0},
\bigl\lvert f(x)\bigr\rvert \le C\,\bigl\lvert g(x)\bigr\rvert.
No nosso caso, \lvert f(x)\rvert =2^{x}+17 e \lvert g(x)\rvert =3^{x}.

Passo 3

Para construir a desigualdade, percebemos que a parte constante 17 pode ser dominada por 2^{x} assim que x ficar grande. De fato, se escolhermos
x_{0}=5,
então para todo x\ge5 temos 2^{x}\ge2^{5}=32 e portanto
17 \le 2^{x}.
Logo, para x\ge5,
2^{x}+17 \;\le\; 2^{x} + 2^{x} \;=\; 2\cdot 2^{x}.

Passo 4

Ainda para x\ge5, como 2^{x}\le3^{x} (pois a base 2 é menor que 3), segue
2\cdot 2^{x} \;\le\; 2\cdot 3^{x}.
Combinando as duas desigualdades, obtemos para todo x\ge5:
2^{x}+17 \;\le\; 2\cdot 3^{x}.

Passo 5

Portanto basta escolher C=2 e x_{0}=5 na definição de Big-O. Concluímos que existem constantes positivas tais que, para todo x\ge x_{0},
\lvert f(x)\rvert =2^{x}+17 \le 2\,3^{x} = C\,g(x),
ou seja,
2^{x}+17 = O\bigl(3^{x}\bigr).

Resposta

Mostramos que, tomando C=2 e x_{0}=5, vale
2^{x}+17 \le 2\,3^{x} \quad\text{para todo }x\ge5,
logo 2^{x}+17 é O(3^{x}).

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