Encontre o raio de convergência. Você consegue identificar a soma como uma função familiar em alguns destes problemas? (Mostre os detalhes do que fizer.)
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-i)^{n}}{(3+4 i)^{n}}

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências centrada em \,z_{0}=i dada por
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-i)^{n}}{(3+4i)^{n}}.
O que precisamos é (1) determinar o raio de convergência dessa série e (2) reconhecer a soma como uma função conhecida, mostrando todos os detalhes.

Passo 2

Vemos que a série é da forma
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-i)^{n} \quad\text{com}\quad a_{n}=\frac{1}{(3+4i)^{n}}.
Aplicamos o teste da razão:
L =\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}(z-i)^{n+1}}{a_{n}(z-i)^{n}}\right| =\left|\frac{z-i}{3+4i}\right|.
A série converge se L<1, isto é
\left|\frac{z-i}{3+4i}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |z-i|<|3+4i|.
Calculando o módulo de 3+4i:
|3+4i|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5.
Logo o raio de convergência é R=5.

Passo 3

Reconhecemos a soma como uma série geométrica de razão
w=\frac{z-i}{3+4i}.
Para |w|<1 temos
\sum_{n=0}^{\infty}w^{n} =\frac{1}{1-w}.
Substituindo w=(z-i)/(3+4i) obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-i)^{n}}{(3+4i)^{n}} =\frac{1}{1-\frac{z-i}{3+4i}} =\frac{3+4i}{3+4i-(z-i)}.

Resposta

O raio de convergência é R=5.
Para |z-i|<5, a soma da série é
\frac{1}{1-\frac{z-i}{3+4i}} =\frac{3+4i}{3+4i-(z-i)}.

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