Encontre as raízes da função algébrica ou graficamente (com uma calculadora apropriada).
f(x)=x^{3}+2 x^{2}-109 x-110

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes da função polinomial
f(x)=x^{3}+2x^{2}-109x-110.
O conteúdo envolvido é encontrar raízes de polinômios de grau 3, usando o teste de raízes racionais, divisão sintética e, se necessário, a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Pelo teste de raízes racionais, as possíveis raízes são da forma \pm p/q, onde p divide o termo independente 110 e q divide o coeficiente líder 1. Logo, as candidatas são
\pm1,\pm2,\pm5,\pm10,\pm11,\pm22,\pm55,\pm110.

Passo 3

Testando x=10:
f(10)=10^{3}+2\cdot10^{2}-109\cdot10-110=1000+200-1090-110=0,
logo x=10 é raiz de f.

Passo 4

Dividindo f(x) por (x-10) por divisão sintética, obtemos o quociente
x^{2}+12x+11
e resto zero. Assim
f(x)=(x-10)\bigl(x^{2}+12x+11\bigr).

Passo 5

Para achar as raízes de x^{2}+12x+11=0, aplicamos Bhaskara:
\Delta = 12^{2}-4\cdot1\cdot11 = 144-44 = 100,
x = \frac{-12\pm\sqrt{100}}{2\cdot1} = \frac{-12\pm10}{2},
obtendo
\,x=-1 e \,x=-11.

Resposta

As raízes de f(x) são
x=-11,\quad x=-1,\quad x=10.

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