Encontre a série de Taylor ou de Maclaurin considerando como centro o ponto dado, e determine o raio de convergência. (Mostre os detalhes do que fizer.)
1 /(4-3 z), 1+i

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de
f(z)=\frac{1}{4-3z}
em torno do ponto z_{0}=1+i, e também o raio de convergência.
Conteúdo: desenvolvimento em série de potências usando a série geométrica e cálculo de raio a partir da distância até o polo mais próximo.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável w=z-(1+i). Assim
f(z)=\frac{1}{4-3(z_{0}+w)} =\frac{1}{4-3(1+i+w)} =\frac{1}{4-3-3i-3w} =\frac{1}{1-3i-3w}.

Passo 3

Escrevemos em forma apropriada para aplicar a série geométrica:
f(z) =\frac{1}{1-3i}\,\frac{1}{1-\dfrac{3w}{1-3i}} =\frac{1}{1-3i}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{3w}{1-3i}\Bigr)^{n},
válido quando \bigl|\tfrac{3w}{1-3i}\bigr|<1.

Passo 4

Voltando a w=z-(1+i), temos
f(z) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-3i}\,\frac{3^{n}}{(1-3i)^{n}}\,(z-(1+i))^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^{n}}{(1-3i)^{n+1}}\,(z-(1+i))^{n}.
Podemos também escrever o sinal em evidência, pois 1-3i=-(3i-1), mas esta forma já é o desenvolvimento de Taylor pedido.

Passo 5

O raio de convergência vem da condição
\Bigl|\frac{3w}{1-3i}\Bigr|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |w|<\frac{|1-3i|}{3} =\frac{\sqrt{1^2+(-3)^2}}{3} =\frac{\sqrt{10}}{3}.

Resposta

\frac{1}{4-3z} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^{n}}{(1-3i)^{\,n+1}}\,(z-(1+i))^{n}, \quad R=\frac{\sqrt{10}}{3}.

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