Encontre a série de Taylor ou de Maclaurin considerando como centro o ponto dado, e determine o raio de convergência. (Mostre os detalhes do que fizer.)
1 /(1-z),-1

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(z)=\frac{1}{1-z} centrada em z_0=-1 e seu raio de convergência. Vamos usar a expansão geométrica
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n,\quad |t|<1,
reescrevendo f(z) em termos de w=z+1.

Passo 2

Defina w=z+1, de modo que z=w-1. Então
f(z)=\frac{1}{1-(w-1)}=\frac{1}{2-w}.
Fatorando 2 no denominador, obtemos
\frac{1}{2-w}=\frac{1}{2}\,\frac{1}{1-\frac{w}{2}}.

Passo 3

Aplicando a série geométrica a \frac{1}{1-\frac{w}{2}}, com t=\frac{w}{2}, temos
\frac{1}{1-\frac{w}{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{w}{2}\Bigr)^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^n}{2^n},
válido para \bigl|\tfrac{w}{2}\bigr|<1, isto é, |w|<2.

Passo 4

Multiplicando por \tfrac12, obtemos a série de Taylor em w:
f(z)=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^n}{2^n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^n}{2^{n+1}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z+1)^n}{2^{n+1}}.

Passo 5

O raio de convergência vem da condição |w|<2, ou seja,
|z+1|<2.

Resposta

A série de Taylor de \displaystyle\frac{1}{1-z} em torno de z_0=-1 é
\frac{1}{1-z} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z+1)^n}{2^{n+1}},
com raio de convergência R=2.

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