Encontre uma solução para cada uma das equações diofantinas:
d) 120 x+84 y+144 z=60

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma solução inteira da equação diofantina
120x + 84y + 144z = 60
Aqui o conteúdo é equações lineares diofantinas em três variáveis. Para resolver, vamos usar o fato de que tal equação tem solução inteira se, e somente se, o máximo divisor comum dos coeficientes dividir o termo independente.

Passo 2

Calcular
d = gcd(120,,84,,144)
Primeiro gcd(120,84)=12. Depois gcd(12,144)=12.
Logo
d = 12

Passo 3

Verificar se d divide 60. Como
60 = 12 times 5,
temos que 12 divide 60, logo existem soluções inteiras.

Passo 4

Para simplificar a busca de uma solução, dividimos toda a equação por 12:
10x + 7y + 12z = 5
Agora escolhemos um valor conveniente para uma das variáveis livres. Por exemplo, seja z = 1. Substituindo em
10x + 7y + 12cdot1 = 5
vem
10x + 7y = 5 - 12 = -7

Passo 5

Resolver a equação em x,y:
10x + 7y = -7
Uma escolha simples é x = 0. Então
7y = -7 Longrightarrow y = -1

Passo 6

Concluímos que
(x,y,z) = (0,,-1,,1)
é solução da equação reduzida. Verificando na original:
120cdot0 + 84cdot(-1) + 144cdot1 = 0 - 84 + 144 = 60,
confere.

Resposta

Uma solução inteira é
(x,y,z) = (0,,-1,,1)

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